7. Sınıf Matematik · Ünite 4
Dikdörtgenler Prizması: Hacim ve Yüzey Alanı ile Hayatın İçinden Problemler
Günlük hayatta karşımıza çıkan kutular, havuzlar veya odalar gibi dikdörtgenler prizması şeklindeki cisimlerin hacim ve yüzey alanlarını hesaplamayı öğreniyoruz.
Kazanım MAT.7.4.6 · 40 dk okuma
Merhaba genç matematikçiler! Bugün dünyayı üç boyutlu bir gözlükle incelemeye ne dersiniz? Etrafınıza bir bakın; dolabınız, okuduğunuz kitaplar, hatta içinde bulunduğunuz oda bile dikdörtgenler prizması şeklinde. Bu dersimizde, bu geometrik cisimlerin hem dışını kaplamayı hem de içini doldurmayı gerektiren günlük hayat problemlerini nasıl çözeceğimizi keşfedeceğiz.
Yüzey Alanı: Dış Kabuğu Kaplamak
Bir arkadaşınıza hediye aldığınızı ve onu bir kutuya koyup renkli bir hediye paketiyle kaplayacağınızı düşünün. İşte bu kutuyu tamamen kaplamak için ne kadar kağıt gerektiğini bulmak, 'yüzey alanını' hesaplamaktır. Bir dikdörtgenler prizmasının toplam 6 yüzü vardır ve karşılıklı yüzlerin alanları birbirine eşittir. Yüzey alanını bulmak için farklı üç yüzeyin (taban, ön ve yan) alanlarını bulup 2 ile çarparız.
Hacim: İçine Ne Kadar Sığar?
Şimdi de odanıza bir akvaryum aldığınızı hayal edin. Bu akvaryumun ne kadar su alabileceğini bulmak için hacmini hesaplamanız gerekir. Hacim, bir cismin uzayda kapladığı boşluğu, yani 'iç kapasitesini' ifade eder. Bunu bulmak için prizmanın üç farklı ayrıtını (en, boy ve yükseklik) birbiriyle çarparız.
Problem Çözme Stratejimiz
- 1Verileri Belirle: Sorudaki uzunluk, genişlik ve yükseklik değerlerini tespit et.
- 2İlişkiyi Kur: Soru hacim mi yoksa yüzey alanı mı istiyor? Eksik bir yüzey var mı? (Örneğin kapaksız bir kutu veya tavanı boyanmayacak bir oda).
- 3Hesapla ve Kontrol Et: İşlemlerini yap, sonucun mantıklı olup olmadığını tahminlerinle karşılaştır.
Örnek Problem: Kargo Şirketi
Bir kargo firması, boyutları 20 cm, 30 cm ve 40 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki kutulardan kullanmaktadır. Bu kutunun dışını tamamen su geçirmez bir jelatinle kaplamak istiyorlar. Gerekli jelatin miktarını bulalım.
Çözüm: Dış yüzeyi kaplamaktan bahsettiğimiz için yüzey alanını bulmalıyız. Kutunun üç farklı ayrıtı a=20, b=30, c=40 cm'dir.
Dikdörtgenler Prizması: Hacim ve Yüzey Alanı ile Hayatın İçinden Problemler: Alıştırma Soruları
1. Ayrıt uzunlukları 5 cm, 4 cm ve 10 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir meyve suyu kutusunun tamamen dolabilmesi için kaç santimetreküp meyve suyuna ihtiyaç vardır?
- A) 200
- B) 190
- C) 100
- D) 50
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 200
Tamamen dolabilmesi için kutunun hacmini hesaplamalıyız. Hacim = a * b * c formülünden 5 * 4 * 10 = 200 santimetreküp bulunur.
2. Ayrıtları 3 cm, 4 cm ve 5 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir tahta bloğun tüm dış yüzeyi kırmızıya boyanacaktır. Toplam kaç santimetrekarelik alan boyanır?
- A) 60
- B) 74
- C) 94
- D) 120
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 94
Dış yüzeyi boyamak için yüzey alanını bulmalıyız. Yüzey alanı = 2 * (3*4 + 3*5 + 4*5) = 2 * (12 + 15 + 20) = 2 * (47) = 94 cm^2.
3. Bir oyuncak fabrikası, ayrıt uzunlukları 2 cm, 3 cm ve 5 cm olan küçük kutuları, ayrıt uzunlukları 20 cm, 30 cm ve 50 cm olan büyük koliye yerleştirecektir. Büyük koli tamamen dolduğunda içinde kaç adet küçük oyuncak kutusu bulunur?
- A) 100
- B) 500
- C) 1000
- D) 3000
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 1000
Kutu sayısını bulmak için büyük kolinin hacmini küçük kutunun hacmine bölmeliyiz. Büyük kolinin hacmi: 20 * 30 * 50 = 30000 cm^3. Küçük kutunun hacmi: 2 * 3 * 5 = 30 cm^3. 30000 / 30 = 1000 adet kutu sığar.
4. Bir marangoz, ayrıtları 1 metre, 2 metre ve 3 metre olan dikdörtgenler prizması şeklinde KAPAKSIZ bir ahşap sandık yapacaktır. (Sandığın tabanı 1 m ve 2 m olan yüzeydir). Sandığın yapımı için kullanılacak ahşabın metrekaresi 50 TL'dir. Buna göre sandığın ahşap maliyeti kaç TL olur?
- A) 900
- B) 1000
- C) 1100
- D) 1200
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 1000
Sandık kapaksız olduğu için üst yüzeyi (1x2 m) hesaba katmayacağız. Taban alanı: 1*2 = 2 metrekare. Yan yüzeylerin alanı: 2*(1*3) + 2*(2*3) = 6 + 12 = 18 metrekare. Toplam alan = 2 + 18 = 20 metrekare. Maliyet = 20 * 50 = 1000 TL olur.
5. Bir yüzme havuzu 25 metre uzunluğunda, 10 metre genişliğinde ve 2 metre derinliğindedir. Havuzun iç yüzeyi (tabanı ve yan duvarları) fayansla kaplanacak ve ardından içi tamamen su ile doldurulacaktır. Havuzu kaplamak için gereken fayans alanı ile havuzu doldurmak için gereken su hacmi sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?
- A) Alan: 390 m^2, Hacim: 500 m^3
- B) Alan: 500 m^2, Hacim: 390 m^3
- C) Alan: 250 m^2, Hacim: 500 m^3
- D) Alan: 390 m^2, Hacim: 250 m^3
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Alan: 390 m^2, Hacim: 500 m^3
Havuzun üstü açık olduğundan sadece taban (25*10=250) ve 4 yan duvar kaplanır. Yan duvarların alanı 2*(25*2) + 2*(10*2) = 100 + 40 = 140'tır. Toplam fayans alanı 250 + 140 = 390 metrekaredir. Su hacmi ise üç ayrıtın çarpımıdır: 25 * 10 * 2 = 500 metreküptür.