7. Sınıf Matematik · Ünite 4
Dikdörtgenler Prizmasının Hacmi: Birimküplerden Formüle
Bir dikdörtgenler prizmasının hacmini birimküplerle ölçmeyi ve ayrıt uzunlukları ile hacim arasındaki ilişkiyi keşfedeceğimiz eğlenceli bir ders.
Kazanım MAT.7.4.4 · 40 dk okuma
Kutulara Kaç Küp Sığar? Prizmaların Hacmini Keşfediyoruz
Bir koli kutusunun veya odanızdaki gardırobun içine ne kadar eşya sığabileceğini hiç düşündünüz mü? Bir cismin uzayda, yani boşlukta kapladığı yere 'hacim' diyoruz. Hacmi ölçmek için elimizdeki en iyi ve en eğlenceli araçlardan biri birimküplerdir.
Taban Katmanını Doldurmak
Elimizde ayakkabı kutusuna benzeyen bir dikdörtgenler prizması olsun. Bu kutunun hacmini bulmak için en alt kısmına (tabanına) birimküpleri dizmeye başlayalım. Sadece tabanı tamamen kaplamak için kaç küp gerektiğini bulduğumuzda, kutunun ilk katmanını tamamlamış oluruz.
Yukarıdaki görselde, kutunun tabanına yatayda 4, dikeyde 3 küp gelecek şekilde bir dizilim yaptık. Yani sadece bu taban katmanını kaplamak için 4 x 3 = 12 adet birimküp kullandık.
Katları Çıkıyoruz!
Peki kutuyu tamamen doldurmak için bu taban katmanından üst üste kaç tane koymamız gerekir? Bunun için kutunun yüksekliğine bakarız. Eğer kutumuz 5 katlı bir bina yüksekliğine sahipse (yüksekliği 5 birimse), tabandaki 12 küplük katmandan tam 5 tane üst üste koymalıyız.
Demek ki bu prizmanın hacmi tam 60 birimküpmüş! Kutuya tamamen 60 adet küçük küp sığdırabiliyoruz.
Tek Tek Saymak Çok Mu Uzun?
Küçük prizmalarda küpleri tek tek saymak eğlenceli olabilir. Ama ya elimizde kocaman bir buzdolabı kutusu olsaydı? İçine binlerce küp sığacak bir kutunun içindeki küpleri teker teker saymak bütün günümüzü alırdı!
Hacim Formülünü Keşfediyoruz
Bir dikdörtgenler prizmasının tabanındaki küp sayısını bulmak için uzunluk ve genişlik değerlerini çarptık. Sonra bu sayıyı kat sayısıyla, yani yükseklikle çarptık. Öyleyse, hacmi bulmanın en kısa ve kolay yolu her zaman şudur:
Örneğin, uzunluğu 6 cm, genişliği 4 cm ve yüksekliği 3 cm olan bir hediye kutusunu düşünelim. İçine kenarları 1 cm olan küplerden (santimetreküp) kaç tane sığacağını bulalım:
Gördüğünüz gibi, tek bir küpü bile teker teker saymadan prizmanın toplam hacmini şipşak hesapladık!
Dikdörtgenler Prizmasının Hacmi: Birimküplerden Formüle: Alıştırma Soruları
1. Ayrıt uzunlukları 3 birim, 4 birim ve 5 birim olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmi toplam kaç birimküptür?
- A) 12
- B) 35
- C) 60
- D) 120
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 60
Prizmanın hacmini bulmak için üç ayrıt uzunluğunu çarparız: 3 x 4 x 5 = 60 birimküp.
2. Bir dikdörtgenler prizmasının tabanına genişliği boyunca 4, uzunluğu boyunca 6 birimküp yerleştirilebiliyor. Kutunun sadece taban (en alt) katmanında toplam kaç birimküp vardır?
- A) 10
- B) 24
- C) 48
- D) 64
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 24
Taban katmanındaki küp sayısını bulmak için tabandaki en ve boy sayıları çarpılır: 4 x 6 = 24 birimküp.
3. Toplam hacmi 120 birimküp olan bir dikdörtgenler prizmasının tabanında (ilk katmanında) 24 birimküp bulunduğuna göre, bu prizmanın yüksekliği kaç birimdir?
- A) 4
- B) 5
- C) 6
- D) 8
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 5
Toplam hacim, tabandaki küp sayısı ile yüksekliğin (katman sayısının) çarpımına eşittir. Toplam hacmi (120) tabandaki sayıya (24) bölersek, 120 / 24 = 5 birim yüksekliği buluruz.
4. Ali, 2 cm, 5 cm ve 8 cm boyutlarında bir kutu; Ayşe ise 4 cm, 4 cm ve 6 cm boyutlarında bir kutu tasarlıyor. İkisinin kutularının hacimleri arasındaki fark kaç santimetreküptür?
- A) 4
- B) 8
- C) 16
- D) 24
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 16
Ali'nin kutusunun hacmi: 2 x 5 x 8 = 80 cm³. Ayşe'nin kutusunun hacmi: 4 x 4 x 6 = 96 cm³. Aralarındaki fark: 96 - 80 = 16 cm³'tür.
5. Bir dikdörtgenler prizmasının uzunluğunu ve genişliğini 2 katına çıkarıp, yüksekliğini yarıya indirirsek, prizmanın yeni hacmi başlangıçtaki hacmine göre nasıl değişir?
- A) Yarıya iner
- B) Değişmez
- C) 2 katına çıkar
- D) 4 katına çıkar
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 2 katına çıkar
Hacim = U x G x Y'dir. Yeni boyutlar (2 x U), (2 x G) ve (Y / 2) olur. Bu üçünü çarptığımızda: 2 x 2 x (1/2) x (U x G x Y) = 2 x (eski hacim) elde ederiz. Yani hacim 2 katına çıkar.