7. Sınıf Matematik · Ünite 4
Eşkenar Dörtgen ve Yamuğun Alan Sırları
Eşkenar dörtgen ve yamuğun alan formüllerini, şekilleri üçgenlere ve paralelkenarlara dönüştürerek kendi kendimize keşfediyoruz.
Kazanım MAT.7.4.9 · 25 dk okuma
Merhaba genç matematikçiler! Bugün geometri tahtalarımızı ve hayal gücümüzü kullanarak iki özel dörtgenin, eşkenar dörtgen ve yamuğun sırlarını keşfedeceğiz. Hiç formül ezberlemeyeceğiz; bunun yerine dedektif gibi ipuçlarını takip edip kuralları kendimiz bulacağız.
Eşkenar Dörtgenin Alanını Keşfedelim
Eşkenar dörtgen, tüm kenar uzunlukları birbirine eşit olan çok havalı bir paralelkenardır. Peki alanını nasıl buluruz? Bir kâğıda eşkenar dörtgen çizip köşegenlerini, yani bir köşeden tam karşısındaki köşeye giden çizgileri çizdiğimizi hayal edelim.
Köşegenleri çizdiğimizde eşkenar dörtgen tam 4 tane birbirinin aynısı olan (eş) dik üçgene ayrılır. Eğer bu köşegenlerin uzunluklarına kısaca 'e' ve 'f' dersek, bu üçgenlerin alanlarını toplayarak tüm dörtgenin alanını bulabiliriz. Ancak daha pratik bir yolumuz var: Köşegen uzunluklarını birbiriyle çarpıp sonucu ikiye bölmek!
Yamuğun Alanını Nasıl Buluruz?
Sırada yamuk var! Yamuk, sadece karşılıklı iki kenarı birbirine paralel olan bir dörtgendir. Paralel olan kenarlara 'alt taban' ve 'üst taban' adını veriyoruz. Yamuğun alanını bulmak için harika bir taktiğimiz var: Kâğıttan kestiğiniz iki tane tamamen aynı yamuğu alıp yan yana ters bir şekilde birleştirmek.
Görsele dikkatlice bakın! İki eş yamuğu birleştirdiğimizde kocaman bir paralelkenar elde ettik. Bu yeni paralelkenarın tabanı, yamuğun alt (c) ve üst (a) tabanlarının toplamı kadar oldu. Yüksekliği (h) ise yamuğun yüksekliği ile tamamen aynı.
Paralelkenarın alanı basitçe 'Taban x Yükseklik' olduğuna göre, bu büyük şeklin alanı (a + c) x h olur. Fakat unutmayın, bu kocaman şekil İKİ tane yamuktan oluşuyor. Bize sadece bir tane yamuğun alanı lazım. Öyleyse, bulduğumuz sonucu ikiye bölmeliyiz.
Özetle
Geometride hiçbir kural havadan gelmez. Eşkenar dörtgende alanı bulmak için şeklin içindeki dik üçgenlerden yararlandık ve köşegenleri kullanmayı öğrendik. Yamukta ise şekli kopyalayıp tanıdığımız bir yüze, yani paralelkenara dönüştürerek kendi formülümüzü inşa ettik. Matematikte her şey birbiriyle bağlantılıdır!
Eşkenar Dörtgen ve Yamuğun Alan Sırları: Alıştırma Soruları
1. Köşegen uzunlukları 10 cm ve 12 cm olan bir eşkenar dörtgenin alanı kaç metrekaredir? (Soru santimetrekare cinsinden sorulmaktadır, seçenekler cm2'dir)
- A) 30
- B) 60
- C) 120
- D) 240
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 60
Eşkenar dörtgenin alanı, köşegenlerin çarpımının yarısıdır. (10 x 12) / 2 = 120 / 2 = 60 cm2'dir.
2. Alt tabanı 12 cm, üst tabanı 8 cm ve yüksekliği 5 cm olan bir yamuğun alanı kaç cm2'dir?
- A) 40
- B) 50
- C) 80
- D) 100
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 50
Yamuğun alanı: (Alt taban + Üst taban) x Yükseklik / 2 formülüyle bulunur. (12 + 8) x 5 / 2 = 20 x 5 / 2 = 100 / 2 = 50 cm2'dir.
3. Alanı 48 cm2 olan bir eşkenar dörtgenin köşegenlerinden birinin uzunluğu 8 cm'dir. Buna göre diğer köşegenin uzunluğu kaç cm'dir?
- A) 6
- B) 10
- C) 12
- D) 24
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 12
Alan formülünde yerine koyarsak: (8 x diğer köşegen) / 2 = 48. Bu durumda 4 x diğer köşegen = 48 olur. Diğer köşegen = 48 / 4 = 12 cm bulunur.
4. Alanı 70 cm2 olan bir yamuğun yüksekliği 7 cm'dir. Yamuğun alt tabanı 14 cm olduğuna göre üst tabanı kaç cm'dir?
- A) 6
- B) 8
- C) 10
- D) 12
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 6
Alan = (Alt taban + Üst taban) x h / 2. Yani, (14 + x) * 7 / 2 = 70. Sadeleştirirsek, (14 + x) * 7 = 140. Her iki tarafı 7'ye bölersek, 14 + x = 20. Buradan x = 6 cm çıkar.
5. Alanı 36 cm2 olan bir eşkenar dörtgende, uzun köşegen kısa köşegenin tam iki katı uzunluktadır. Buna göre uzun köşegen kaç cm'dir?
- A) 6
- B) 8
- C) 12
- D) 18
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 12
Kısa köşegene x dersek, uzun köşegen 2x olur. Alan formülü: (x * 2x) / 2 = 36. 2x^2 / 2 = 36 ise x^2 = 36'dır. Hangi sayının karesi 36'dır? 6'nın. Kısa köşegen 6 cm ise, uzun köşegen onun iki katı yani 12 cm'dir.