7. Sınıf Matematik · Ünite 4
Kutu Kutu Pense: Dikdörtgenler Prizmasının Açınımı ve Yüzey Alanı
Çevremizdeki hediye, parfüm veya ilaç kutularının ardındaki geometriyi keşfediyoruz! Prizmaların açınımlarını çizmeyi ve yüzey alanlarını hesaplamayı öğreneceğiz.
Kazanım MAT.7.4.2 · 40 dk okuma
Kutuların Gizli Dünyası: Prizmaların Açınımı
Evimizdeki diş macunu, parfüm veya çikolata kutularına alıcı gözüyle baktın mı? Hepsi aslında geometride 'dikdörtgenler prizması' dediğimiz 3 boyutlu cisimlerdir. Peki, bu kutuları makasla ayrıtlarından (kenarlarından) kesip masanın üzerine dümdüz serersek ne olur? İşte elde ettiğimiz bu düz şekle geometride 'açınım' diyoruz. Bir prizmayı kapalı bir kutudan açık bir haritaya dönüştürmek gibi düşünebilirsin!
Açınımlar Hep Aynı mıdır?
Bir ilaç kutusunu alıp farklı ayrıtlarından kestiğinde elde edeceğin şekil, arkadaşının elde ettiği şekilden farklı olabilir. Kimi açınım bir 'haç' işaretine benzerken, kimisi bir merdiveni andırabilir. Yani bir prizmanın birden fazla DOĞRU açınımı olabilir! Önemli olan tek şart, bu açınımı katladığımızda yüzlerin üst üste binmeden kusursuz ve kapalı bir kutu oluşturmasıdır. Aşağıdaki çizimde klasik bir açınım örneğini inceleyebilirsin:
Hediye Paketi Yapıyoruz: Yüzey Alanı
Diyelim ki arkadaşına doğum günü hediyesi aldın ve dikdörtgenler prizması şeklindeki bu kutuyu renkli bir paket kâğıdıyla hiç boşluk kalmayacak şekilde kaplamak istiyorsun. Acaba tam olarak ne kadar kâğıt kullanman gerekir? İşte bu soru bizi 'Yüzey Alanı' kavramına götürür. Yüzey alanı, prizmanın açınımındaki tüm yüzlerin (yani 6 dikdörtgenin) alanlarının toplamıdır. Prizmanın boyutları a, b ve c olsun. Yüzey alanını bulmak için şu basit kuralı kullanabiliriz:
Formülü ezberlemene hiç gerek yok! Sadece her bir farklı yüzden (alt, ön ve yan) ikişer tane olduğunu hatırla. Kutunun enini, boyunu ve yüksekliğini ikili ikili çarpıp alanları bulur, sonra bunları toplayıp 2 ile çarparsın. Yüzey alanını doğru hesaplamak, sahip olduğumuz paket kâğıdını en verimli şekilde kullanmamızı sağlar. Aksi halde kâğıt israfı yapmış veya hediyemizi yarım kaplamış oluruz!
Kutu Kutu Pense: Dikdörtgenler Prizmasının Açınımı ve Yüzey Alanı: Alıştırma Soruları
1. Dikdörtgenler prizması şeklindeki bir diş macunu kutusunu ayrıtlarından keserek tamamen açtığımızda, karşımıza toplam kaç adet dikdörtgensel bölge (yüz) çıkar?
- A) 4
- B) 5
- C) 6
- D) 8
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 6
Dikdörtgenler prizmasının alt, üst, sağ, sol, ön ve arka olmak üzere toplam 6 yüzü vardır. Açınım yapıldığında bu 6 yüzün tamamı düzleme serilir.
2. Bir dikdörtgenler prizmasının açınımında bulunan 6 dikdörtgensel yüz ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
- A) Hepsinin alanı birbirine eşittir.
- B) Karşılıklı yüzler birbirinin aynısıdır (eştir).
- C) Sadece taban ve tavan yüzleri eş, diğerleri farklıdır.
- D) Yüzlerin hepsi her zaman birer karedir.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Karşılıklı yüzler birbirinin aynısıdır (eştir).
Dikdörtgenler prizmasında alt-üst, sağ-sol ve ön-arka yüzler birbirine eşittir, yani açınımda 3 çift eş dikdörtgen bulunur.
3. Ayrıt uzunlukları 3 cm, 4 cm ve 5 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir parfüm kutusunun tüm yüzeyini kaplamak için en az kaç santimetrekare kaplama kâğıdına ihtiyaç vardır? (Kâğıdın üst üste gelen kısımları ihmal edilecektir.)
- A) 47
- B) 60
- C) 94
- D) 120
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 94
Yüzey alanı formülünden: Alan = 2 * (3*4 + 3*5 + 4*5) = 2 * (12 + 15 + 20) = 2 * 47 = 94 cm² hesaplanır.
4. Bir çikolata kutusunu farklı ayrıtlarından makasla keserek birden fazla farklı yüzey açınımı elde edebilir miyiz? Bu durumun nedeni nedir?
- A) Hayır, her prizmanın sadece bir tane doğru açınımı vardır.
- B) Evet, çünkü kutunun hacmi değiştikçe açınımı da değişir.
- C) Hayır, kesilen yer neresi olursa olsun masaya serilen şekil hep aynı kalır.
- D) Evet, farklı ayrıtlar boyunca kesmek yüzlerin birbirine bağlanma dizilişini değiştirerek farklı doğru açınımlar oluşturur.
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Evet, farklı ayrıtlar boyunca kesmek yüzlerin birbirine bağlanma dizilişini değiştirerek farklı doğru açınımlar oluşturur.
Bir prizmanın yüzleri birbirinden tamamen koparılmadığı sürece, farklı kenarlardan kesilerek katlanmaya uygun birbirinden farklı açınım şekilleri elde edilebilir.
5. Bir dikdörtgenler prizmasının açınımı çizilirken 5 yüzü çizilmiş, bir yüzü unutulmuştur. Çizilen yüzlerin alanları 15 cm², 15 cm², 20 cm², 20 cm² ve 12 cm² olduğuna göre, unutulan yüzün alanı kaç santimetrekaredir?
- A) 12
- B) 15
- C) 20
- D) 24
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 12
Prizmanın açınımında 3 çift eş dikdörtgen olmalıdır. 15 ve 20 cm²'lik yüzlerin eşleri (çiftleri) vardır ancak 12 cm²'lik yüz tektir. Eksik olan eş yüz 12 cm² olmalıdır.