7. Sınıf Matematik · Ünite 7
Olasılık Dünyasına Giriş: Örnek Uzay ve Olaylar
Deney, çıktı, örnek uzay ve olay kavramlarını keşfederek, ağaç şeması ve liste yöntemiyle teorik olasılıkların sırlarını çözeceğimiz eğlenceli bir ders.
Kazanım MAT.7.7.1 · 30 dk okuma
Merhaba genç matematikçiler! Bugün sizlerle hayatımızın her anında gizli olan heyecan verici bir konuyu, 'Olasılık' dünyasını keşfedeceğiz. Acaba yarın hava yağmurlu mu olacak? En sevdiğimiz takım bu hafta sonu maçı kazanacak mı? Hayatta birçok sorunun kesin bir cevabı olmasa da, matematiğin sihirli aracı olan 'teorik olasılık' sayesinde geleceğe dair son derece mantıklı tahminler yürütebiliriz.
Oyunun Kuralları: Deney, Çıktı, Örnek Uzay ve Olay
Bir madenî parayı havaya attığımızı düşünelim. İhtimalleri görmek için yaptığımız bu eylemin kendisine matematik dilinde 'deney' diyoruz. Paranın yere düştüğünde üst yüzünde görebileceğimiz her bir duruma (Yazı veya Tura) 'çıktı' denir.
İşte bir deneyde karşılaşabileceğimiz tüm olası çıktıların oluşturduğu koca bir kümeye 'örnek uzay', bu örnek uzayın içinde sadece bizim ilgilendiğimiz özel durumlara ise (örneğin paranın Tura gelmesi) 'olay' diyoruz.
Eşit Olasılıklı Olan ve Olmayan Olaylar
Hilesiz bir zarı havaya attığımızda; 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 gelme ihtimalleri birbirine eşittir. Çünkü zarın 6 yüzü de aynı fiziksel özelliklere sahiptir. Her bir çıktının gerçekleşme şansının aynı olmasına 'eşit olasılıklı olaylar' diyoruz.
Peki, fen bilimleri dersinden kan gruplarını hatırlıyor musunuz? Türkiye'de insanların büyük bir çoğunluğu A (Rh+) veya 0 (Sıfır) kan grubuna sahipken, AB (Rh-) kan grubuna sahip olanların sayısı çok daha azdır. Eğer bir sınıftan rastgele bir öğrenci seçersek, bu öğrencinin A kan grubuna sahip olma olasılığı ile AB kan grubuna sahip olma olasılığı birbirine eşit değildir. İşte buna da 'eşit olasılıklı olmayan olaylar' denir.
Tüm İhtimalleri Görmek: Liste Yöntemi ve Ağaç Şeması
Bir deneydeki örnek uzayı (tüm çıktıları) bulmak bazen kafa karıştırıcı olabilir. Örneğin, bir madenî parayı arka arkaya İKİ KEZ attığımızı düşünelim. Tüm çıktıları liste yöntemiyle şöyle yazabiliriz: {(Yazı, Yazı), (Yazı, Tura), (Tura, Yazı), (Tura, Tura)}. Gördüğünüz gibi tam 4 farklı çıktımız var.
Bunu daha görsel bir şekilde anlamak için 'Ağaç Şeması'nı kullanabiliriz. Her bir dal bize yeni bir ihtimali gösterir:
Ağaç şeması, hiçbir ayrıntıyı kaçırmadan örnek uzayın tamamını belirlememize yardımcı olur. Tüm çıktıları bulduktan sonra, bir olayın teorik olasılığını hesaplamak çok basittir:
Sonuç olarak, olasılık hesaplamak için yüzlerce kez para veya zar atmamıza gerek yoktur. Örnek uzayı doğru bir şekilde tasarlamak, bizim 'teorik' olarak mükemmel tahminler yapmamızı sağlar!
Olasılık Dünyasına Giriş: Örnek Uzay ve Olaylar: Alıştırma Soruları
1. Hilesiz bir zarın havaya atılması deneyinde 'örnek uzay' aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Yalnızca çift sayılar
- B) {1, 2, 3, 4, 5, 6}
- C) {Yazı, Tura}
- D) Yalnızca asal sayılar
Cevabı göster
Doğru cevap: B) {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Örnek uzay, bir deney sonucunda ortaya çıkabilecek TÜM çıktıların oluşturduğu kümedir. Zar atma deneyinde 1'den 6'ya kadar olan tüm sayılar gelebileceği için örnek uzay {1, 2, 3, 4, 5, 6} olur.
2. Aşağıdaki ifadelerden hangisinde 'olay' kavramı doğru kullanılmıştır?
- A) Madenî paranın havaya atılması bir olaydır.
- B) Bir zar atıldığında zarda oluşabilecek tüm sonuçlar kümesi bir olaydır.
- C) Madenî para havaya atıldığında üst yüze tura gelmesi bir olaydır.
- D) Hava durumunu tahmin etmek bir olaydır.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Madenî para havaya atıldığında üst yüze tura gelmesi bir olaydır.
Madenî paranın atılması 'deney', tüm olası sonuçlar 'örnek uzay', bizim incelediğimiz özel durum (örneğin Tura gelmesi) ise 'olay'dır.
3. Kerem, elindeki iki madenî parayı aynı anda havaya atıyor. Bu deneyin örnek uzayındaki çıktı sayısı kaçtır ve bu çıktılar hangi seçenekte eksiksiz (liste yöntemiyle) verilmiştir?
- A) 2 çıktı: {(Yazı, Tura), (Tura, Yazı)}
- B) 3 çıktı: {(Yazı, Yazı), (Tura, Tura), (Yazı, Tura)}
- C) 4 çıktı: {(Yazı, Yazı), (Yazı, Tura), (Tura, Yazı), (Tura, Tura)}
- D) 4 çıktı: {(Yazı), (Tura), (Yazı), (Tura)}
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 4 çıktı: {(Yazı, Yazı), (Yazı, Tura), (Tura, Yazı), (Tura, Tura)}
İki paranın atılması deneyinde ağaç şemasında da görüldüğü gibi toplam 4 dal yani 4 çıktı oluşur. (Yazı, Tura) ile (Tura, Yazı) farklı paralara ait olduğu için farklı çıktılar olarak değerlendirilir.
4. Bir hastanedeki kan bağışçıları incelendiğinde; bağışçıların 45'inin A, 35'inin 0 (Sıfır), 15'inin B ve 5'inin AB kan grubunda olduğu görülmüştür. Bu hastanedeki bağışçılar arasından rastgele seçilen bir kişinin kan grubuyla ilgili aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?
- A) A kan grubuna sahip olma olasılığı ile 0 olma olasılığı eşittir.
- B) Tüm kan gruplarının seçilme olasılığı eşit olasılıklı olaydır.
- C) Deneyin örnek uzayı yalnızca A ve 0 kan gruplarından oluşur.
- D) AB kan grubuna sahip olma olasılığı, eşit olasılıklı olmayan bir olaydır ve gerçekleşme ihtimali en düşüktür.
Cevabı göster
Doğru cevap: D) AB kan grubuna sahip olma olasılığı, eşit olasılıklı olmayan bir olaydır ve gerçekleşme ihtimali en düşüktür.
Bağışçı sayıları birbirinden farklı olduğu için grupların seçilme ihtimalleri birbirine eşit değildir (eşit olasılıklı olmayan olay). En az kişi AB grubunda olduğu için bu olayın gerçekleşme olasılığı en düşüktür.
5. Bir torbada aynı büyüklükte kırmızı, mavi ve sarı toplar vardır. Rastgele bir top çekildiğinde kırmızı gelme olasılığı ile mavi gelme olasılığı 'eşit olasılıklı olay', sarı gelme olasılığı ise bunlardan 'daha az olasılıklı olay'dır. Torbada toplam 20 top varsa, topların renklere göre dağılımı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
- A) 8 Kırmızı, 8 Mavi, 4 Sarı
- B) 7 Kırmızı, 6 Mavi, 7 Sarı
- C) 10 Kırmızı, 10 Mavi, 0 Sarı
- D) 6 Kırmızı, 6 Mavi, 8 Sarı
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 8 Kırmızı, 8 Mavi, 4 Sarı
Kırmızı ve mavi topların seçilme olasılıkları eşitse, sayıları da eşit olmalıdır. Sarı seçilme olasılığı daha az ise, sarı top sayısı kırmızı ve mavi toplardan az olmalıdır. Sadece '8 Kırmızı, 8 Mavi, 4 Sarı' seçeneğinde bu şartlar sağlanır (8=8 ve 4<8) ve toplamları 20 eder.