7. Sınıf Matematik · Ünite 1
Orantı Avcıları: İlişkilerin Peşinde
Gerçek hayattaki durumları inceleyerek hangi çoklukların orantılı olduğunu, hangilerinin olmadığını tablo ve grafiklerle keşfediyoruz.
Kazanım MAT.7.1.6 · 25 dk okuma
Her İki Çokluk Birlikte Artarsa Orantılı Mıdır?
Günlük hayatta birçok şeyin birbiriyle bağlantılı olduğunu fark etmişsindir. Çok çalışırsan notların yükselir, zaman geçtikçe yaşın büyür. Peki matematikte iki durumun birbirine 'orantılı' olması tam olarak ne anlama gelir? Bu derste gerçek yaşam durumları üzerinden orantı avına çıkıyoruz!
Durum 1: Doğru Orantı (Aynı Yönde Sabit Kat)
Bir benzin istasyonuna gittin. 1 litre benzin 40 TL ise, 2 litre benzin 80 TL, 3 litre benzin 120 TL tutar. Alınan benzin miktarı arttıkça, ödenmesi gereken para da AYNI KATTA artar. İki çokluğun birbirine bölümü (oranı) her zaman aynıdır:
İşte bu şekilde aynı ilişkiyi gösteren iki veya daha fazla oranın birbirine eşit olmasına 'orantı' denir. Çokluklardan biri artarken diğeri de aynı çarpımsal oranda artıyorsa buna Doğru Orantı diyoruz.
Durum 2: Ters Orantı (Zıt Yönde Sabit Kat)
Diyelim ki bir bahçeyi temizlemek için işçi tutuldu. 2 işçi bu bahçeyi 12 saatte temizliyor. Eğer 4 işçi (işçi sayısı 2 katına çıktı) çalışsaydı, iş 6 saatte (süre yarıya indi) biterdi. Biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa buna Ters Orantı deriz. Burada oranlar değil, çarpımlar eşittir:
Durum 3: Orantılı Olmayan İlişkiler
Peki ya bir kasabanın nüfusu? Kasabanın başlangıç nüfusu 5000 olsun. Her yıl kasabaya 1000 kişi taşınsın. 1. yıl 6000, 2. yıl 7000 kişi olur. Yıllar artıyor, nüfus da artıyor. Ama 1. yılda oranımız 1/6000 iken, 2. yılda 2/7000 olur. Bu iki oran birbirine eşit değildir! Dolayısıyla yıllar ile nüfus orantılı DEĞİLDİR. Sadece düzenli bir artış vardır.
Grafiklerde kırmızı çizgiye dikkat et! Eğer bir ilişki sıfırdan (orijinden) başlamıyorsa veya düz bir çizgi şeklinde değilse, o iki çokluk arasında doğru orantıdan bahsedemeyiz. Örneğin açılış ücreti olan bir taksimetre grafiği sıfırdan başlamaz, bu yüzden orantılı değildir.
Orantı Avcıları: İlişkilerin Peşinde: Alıştırma Soruları
1. Aşağıdaki günlük yaşam durumlarının hangisinde iki çokluk arasında DOĞRU ORANTI vardır?
- A) Bir insanın yaşı ile saç teli sayısı
- B) Bir kitabın okunan sayfa sayısı ile kalan sayfa sayısı
- C) Aynı hızla çalışan işçi sayısı ile işin bitme süresi
- D) Sabit hızla giden bir aracın harcadığı yakıt miktarı ile ödenen toplam para
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Sabit hızla giden bir aracın harcadığı yakıt miktarı ile ödenen toplam para
Yakıt miktarı arttıkça ödenecek para da aynı katla artar, bu çarpımsal bir ilişkidir ve doğru orantıyı ifade eder. İşçi ve süre ise ters orantılıdır.
2. Bir manavda satılan elmaların kilosu ile fiyatı arasındaki ilişkiyi gösteren bir tablo yapılıyor. 1 kg elma 20 TL, 2 kg elma 40 TL, 3 kg elma 60 TL olarak yazılıyor. Bu durumla ilgili hangisi kesinlikle doğrudur?
- A) Elma miktarı ile fiyat arasında ters orantı vardır.
- B) Elma miktarı arttıkça fiyat azalmaktadır.
- C) Elma miktarı ile fiyat arasında doğru orantı vardır, çünkü aralarındaki oran sabittir.
- D) Elma miktarı ve fiyat orantılı değildir, sadece artan bir ilişki vardır.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Elma miktarı ile fiyat arasında doğru orantı vardır, çünkü aralarındaki oran sabittir.
1/20 = 2/40 = 3/60 olduğu için aralarında çarpımsal bir sabit vardır, bu da doğru orantı olduğunu gösterir.
3. Eşit kapasiteli muslukların bir havuzu doldurma süresi inceleniyor. 2 musluk 12 saatte, 3 musluk 8 saatte, 4 musluk 6 saatte dolduruyor. Musluk sayısı ile doldurma süresi arasındaki ilişki aşağıdakilerden hangisidir?
- A) Doğru orantılıdır, çünkü musluk sayısı arttıkça süre de artar.
- B) Ters orantılıdır, çünkü iki çokluğun birbiriyle çarpımı (2x12, 3x8) hep aynı sabite eşittir.
- C) Orantılı değildir, çünkü musluk sayısı ve süre farklı ölçü birimleridir.
- D) Doğru orantılıdır, çünkü aralarındaki bölme işlemi sabit bir sayı verir.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Ters orantılıdır, çünkü iki çokluğun birbiriyle çarpımı (2x12, 3x8) hep aynı sabite eşittir.
Biri artarken diğeri azalıyor ve çarpımları (24) her zaman sabit kalıyor. Bu ters orantının temel özelliğidir.
4. Bir kasabanın nüfusu her yıl tam 500 kişi artmaktadır. Kasabanın başlangıçtaki nüfusu 10.000'dir. 1. yılın sonunda 10.500, 2. yılın sonunda 11.000 olmuştur. Geçen yıllar ile kasabanın nüfusu arasında bir orantı var mıdır?
- A) Evet, doğru orantı vardır çünkü her ikisi de sürekli artmaktadır.
- B) Evet, ters orantı vardır çünkü aralarındaki fark sabittir.
- C) Hayır, orantı yoktur çünkü nüfus ile yıllar arasındaki oran (kat ilişkisi) sabit değildir.
- D) Hayır, orantı yoktur çünkü nüfus zamanla azalmamaktadır.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Hayır, orantı yoktur çünkü nüfus ile yıllar arasındaki oran (kat ilişkisi) sabit değildir.
Orantı olması için oranların eşit olması gerekir (1/10500 eşit değildir 2/11000). Düzenli artış olması tek başına doğru orantı oluşturmaz.
5. Bir taksinin açılış ücreti 15 TL'dir ve gidilen her kilometre için 10 TL yazmaktadır. Buna göre 1 km giden 25 TL, 2 km giden 35 TL öder. Gidilen yol ile ödenen ücret arasındaki ilişki için hangisi söylenebilir?
- A) Gidilen yol 2 katına çıktığında ücret de tam 2 katına çıktığı için doğru orantılıdır.
- B) Gidilen yol ile ödenen ücret ters orantılıdır.
- C) Başlangıç ücreti olduğu için, aralarındaki çarpımsal oran sabit kalmaz ve orantılı değildir.
- D) Ödenen ücret kilometreye bölündüğünde hep 10 çıktığı için doğru orantılıdır.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Başlangıç ücreti olduğu için, aralarındaki çarpımsal oran sabit kalmaz ve orantılı değildir.
1 km için 25 TL, 2 km için 35 TL ödenir. 25/1 eşit değildir 35/2'ye. Başlangıç ücreti (orijinden başlamama durumu), iki çokluk arasındaki orantılı ilişkiyi bozar.