7. Sınıf Matematik · Ünite 1
Rasyonel Sayıların Ondalık Dünyasına Yolculuk
Rasyonel sayıların bölme işlemiyle nasıl sonlu veya devirli ondalık gösterimlere dönüştüğünü ve 0,999... sayısının ardındaki sırrı keşfediyoruz.
Kazanım MAT.7.1.2 · 40 dk okuma
Gündelik hayatta bir pastayı veya pizzayı eşit şekilde paylaşmaya çalıştığınızda, bazen tam olarak paylaşamadığınızı fark etmişsinizdir. Örneğin 3 pizzayı 4 kişiye bölerseniz her birinize pizzanın ne kadarı düşer? Ya 1 pizzayı 3 kişiye bölerseniz?
Kesir çizgisi matematikte aynı zamanda 'bölme' anlamına gelir. Bir rasyonel sayıyı ondalık sayıya çevirmek için tek yapmamız gereken payı paydaya bölmektir. 3 pizzayı 4 kişiye böldüğümüzde:
Sonlu mu, Devirli mi? Gizem Paydada Saklı!
Bazı bölme işlemlerinin sonu gelirken (sonlu), bazıları sonsuza kadar aynı döngüde devam eder (devirli). Bir bölme işlemini yapmadan sonucun sonlu mu yoksa devirli mi olacağını tahmin edebilir miyiz? Cevap: Evet, paydanın asal çarpanlarına bakarak!
Devirli Sayılar ve Sihirli Çizgi
Bir sayıyı bölerken aynı rakam veya rakam grubu sonsuza kadar tekrar ediyorsa, bu duruma 'devirli ondalık gösterim' deriz. Matematikçiler sonsuza kadar aynı rakamları yazmak yerine pratik bir çözüm bulmuştur: Tekrar eden kısmın üstüne bir çizgi çekmek!
Geriye Dönüş: Ondalık Gösterimleri Kesre Çevirme
Ondalık bir sayıyı rasyonel sayıya (kesre) çevirirken iki farklı kuralımız vardır:
- Sonlu ise: Sayının virgülsüz hâlini paya, virgülden sonraki basamak sayısı kadar sıfırı 1'in yanına ekleyerek paydaya yazarız. (Örneğin 0,45 = 45/100)
- Devirli ise: Paya 'Sayının tamamı - Devretmeyen kısım' yazılır. Paydaya ise virgülden sonra 'Devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen basamak sayısı kadar 0' konur.
Zihin Yakan Bir Soru: 0,999... 1'e Eşit mi?
İlk bakışta 0,999... sayısının 1'den küçücük de olsa daha ufak olduğunu düşünebilirsiniz. Fakat matematikte bu ikisi tamamen birbirine eşittir! Bunu ispatlamak oldukça basittir:
Şimdi bu eşitliğin her iki tarafını da 3 ile çarpalım:
İşte bu kadar basit! Ayrıca devirli sayı kuralını uygulayarak da 9/9 = 1 sonucuna ulaşırız. Her rasyonel sayının bir ondalık gösterimi olduğu gibi, bu tarz büyüleyici ilişkiler matematiği eğlenceli kılar.
Rasyonel Sayıların Ondalık Dünyasına Yolculuk: Alıştırma Soruları
1. Bir pizzayı 5 arkadaş eşit olarak paylaşacaktır. Her bir kişiye düşen pizza miktarının ondalık gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 0,1
- B) 0,2
- C) 0,25
- D) 0,5
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 0,2
Her bir kişiye düşen pizza miktarı 1/5'tir. 1'i 5'e böldüğümüzde veya kesri 2 ile genişlettiğimizde 2/10 = 0,2 sonucuna ulaşırız.
2. Aşağıda verilen rasyonel sayılardan hangisi ondalık gösterime çevrildiğinde devirli bir ondalık sayı elde edilir?
- A) 7 / 20
- B) 9 / 25
- C) 13 / 8
- D) 5 / 12
Cevabı göster
Doğru cevap: D) 5 / 12
Bir kesrin devirli olabilmesi için sadeleşmiş halinde paydanın asal çarpanları içinde 2 ve 5 harici bir sayı olmalıdır. 12'nin asal çarpanları 2 ve 3'tür. İçindeki 3 çarpanı yüzünden sayı devirli olur.
3. Aylin, 17 metrelik bir kumaşı 6 eşit parçaya bölmek istiyor. Aylin'in elde edeceği her bir kumaş parçasının uzunluğunun ondalık gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 2,83
- B) 2,8\overline{3}
- C) 2,\overline{83}
- D) 2,\overline{8}
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 2,8\overline{3}
17'yi 6'ya böldüğümüzde; 17'de 6, 2 kere vardır (kalan 5). Virgül atıp kalanın yanına 0 ekleriz: 50'de 6, 8 kere (kalan 2). 20'de 6, 3 kere (kalan 2). Bundan sonra hep 20'de 6, 3 kere olacaktır. Sonuç: 2,8333... yani 2,8\overline{3} olur.
4. 0,\overline{7} devirli ondalık gösteriminin rasyonel sayı olarak ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 7 / 10
- B) 77 / 100
- C) 7 / 9
- D) 7 / 90
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 7 / 9
Devirli sayı kuralına göre: Paya sayının tamamı (7) yazılır. Paydaya ise virgülden sonra devreden rakam sayısı kadar 9 yazılır. Bir tane rakam devrettiği için payda 9 olur. Cevap 7/9'dur.
5. 1,2\overline{5} ondalık gösteriminin en sade haldeki rasyonel sayı eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 125 / 100
- B) 113 / 90
- C) 125 / 99
- D) 124 / 90
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 113 / 90
Kuralı uygulayalım: (Sayının tamamı - Devretmeyen kısım) / (Virgülden sonra devreden kadar 9, devretmeyen kadar 0). Pay: 125 - 12 = 113. Payda: Virgülden sonra 5 devrediyor (bir tane 9), 2 devretmiyor (bir tane 0) yani 90. Sonuç 113/90 bulunur.