8. Sınıf Matematik · Ünite 5
Dönüşümler Dünyası: Koordinat Sisteminde Öteleme ve Yansıma
Koordinat sisteminde şekillerin öteleme ve yansıma hareketlerini keşfediyoruz. Matematiksel bileşenlerin nasıl değiştiğini öğrenerek adım adım problem çözme stratejileri geliştireceğiz.
Kazanım MAT.8.5.3 · 40 dk okuma
Geometrinin hareketli dünyasına hoş geldiniz! Video oyunlarındaki karakterlerin nasıl sağa sola ilerlediğini veya durgun bir göl yüzeyinde dağların kusursuz yansımasının nasıl oluştuğunu hiç düşündünüz mü? İşte bunlar matematikte 'öteleme' ve 'yansıma' hareketlerinin gerçek hayattaki karşılıklarıdır.
Öteleme (Kaydırma) Hareketi
Öteleme, bir şeklin boyutunu, duruşunu ve biçimini değiştirmeden belirli bir yönde kaydırılmasıdır. Örneğin bir üçgeni 3 birim sağa ve 2 birim aşağı ötelediğimizde, üçgenin her bir köşesi tam olarak aynı yolculuğu yapar.
Koordinat sisteminde (x, y) noktasını 'a' birim yatayda, 'b' birim dikeyde ötelediğimizde şu kuralı kullanırız:
Burada 'a' değeri pozitifse sağa, negatifse sola kaymayı ifade eder. 'b' değeri ise pozitifse yukarı, negatifse aşağı hareketi gösterir.
Yansıma (Ayna Görüntüsü)
Yansıma işlemi tam olarak aynaya bakmak gibidir. Ayna görevi gören doğruya 'yansıma ekseni' deriz. Şekil bu eksene göre katlandığında, her bir noktanın yansıma eksenine olan dik uzaklığı korunur.
Koordinat sisteminde yansıma yaparken kurallarımız çok basittir:
Problem Çözme Stratejileri
Karmaşık dönüşüm problemlerini çözerken adım adım ilerlemek hayat kurtarır. Önce verilen noktanın koordinatlarını belirleyin. Ardından istenen öteleme veya yansıma kuralını matematiksel olarak uygulayın. Zihninizde veya kâğıt üzerinde şeklin yeni konumunu tahmin ederek sonucun mantıklı olup olmadığını mutlaka kontrol edin. Bir strateji işe yaramazsa, geri dönüp işaretleri (artı/eksi) doğru kullanıp kullanmadığınızı gözden geçirin.
Dönüşümler Dünyası: Koordinat Sisteminde Öteleme ve Yansıma: Alıştırma Soruları
1. Koordinat sisteminde bulunan A(2, 3) noktası 4 birim sola ve 1 birim aşağıya öteleniyor. Bu öteleme sonucunda oluşan yeni noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (-2, 2)
- B) (6, 4)
- C) (-2, 4)
- D) (6, 2)
Cevabı göster
Doğru cevap: A) (-2, 2)
Sola öteleme x değerinden çıkarma yapmayı, aşağı öteleme y değerinden çıkarma yapmayı gerektirir. x = 2 - 4 = -2 ve y = 3 - 1 = 2 olur. Yeni nokta (-2, 2) koordinatlarındadır.
2. B(-5, 4) noktasının x eksenine göre yansıması alındığında elde edilen noktanın koordinatları nedir?
- A) (5, 4)
- B) (-5, -4)
- C) (5, -4)
- D) (-4, -5)
Cevabı göster
Doğru cevap: B) (-5, -4)
x eksenine göre yansıma alındığında noktanın x koordinatı sabit kalır, y koordinatı işaret değiştirir. Bu nedenle (-5, 4) noktası (-5, -4) noktasına dönüşür.
3. C(1, -2) noktası önce y eksenine göre yansıtılıyor, ardından elde edilen yeni nokta 3 birim yukarı öteleniyor. Son durumda oluşan noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (1, 1)
- B) (-1, -5)
- C) (-1, 1)
- D) (4, 2)
Cevabı göster
Doğru cevap: C) (-1, 1)
İlk adımda y eksenine göre yansıma: x işaret değiştirir, (-1, -2) olur. İkinci adımda 3 birim yukarı öteleme: y değerine 3 eklenir, -2 + 3 = 1. Sonuç (-1, 1) olur.
4. Bir KLM üçgeninin köşelerinden biri olan K noktasının koordinatı (-3, 5)'tir. Bu üçgen ötelendiğinde K noktası K'(2, 1) noktasına gelmektedir. Buna göre üçgene uygulanan öteleme hareketi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 5 birim sağa, 4 birim yukarı
- B) 5 birim sağa, 4 birim aşağı
- C) 1 birim sola, 4 birim aşağı
- D) 5 birim sola, 4 birim yukarı
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 5 birim sağa, 4 birim aşağı
x koordinatı -3'ten 2'ye çıkmıştır (-3 + 5 = 2), yani 5 birim sağa ötelenmiştir. y koordinatı 5'ten 1'e düşmüştür (5 - 4 = 1), yani 4 birim aşağı ötelenmiştir.
5. Köşeleri A(0,0), B(4,0), C(4,3) ve D(0,3) olan bir dikdörtgen önce x eksenine göre yansıtılıyor, sonra 5 birim sağa öteleniyor. Oluşan yeni şekil için aşağıda verilen ifadelerden hangisi YANLIŞTIR?
- A) Yeni şeklin alanı 12 birimkaredir.
- B) Yeni şeklin çevresi 14 birimdir.
- C) Yeni A köşesinin koordinatı (5, 0)'dır.
- D) Yeni C köşesinin koordinatı (9, 3)'tür.
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Yeni C köşesinin koordinatı (9, 3)'tür.
Yansıma ve öteleme hareketlerinde şeklin boyutu değişmez, bu yüzden alan (4x3=12) ve çevre (2x(4+3)=14) aynı kalır. A(0,0) noktası yansımada değişmez, 5 sağa ötelenince (5,0) olur. Ancak C(4,3) noktası x eksenine göre yansıtılınca (4,-3) olur, 5 birim sağa ötelenince (9,-3) olur. (9,3) yanlıştır.