8. Sınıf Matematik · Ünite 3
Gizemli Üçgenlerin Sırrı: Eşlik ve Minimum Şartlar
Paralelkenardaki köşegenlerin ve simetri eksenlerinin oluşturduğu eş üçgenleri keşfediyoruz. Bir üçgenin kopyasını çizebilmek için hangi özelliklerinin bilinmesinin yeterli olduğunu tartışıyoruz.
Kazanım MAT.8.3.3 · 40 dk okuma
Gizemli Üçgen Oyunu: Kutuda Ne Var?
Düşünün ki elimde kapalı bir kutu var ve içinde bir üçgen saklı. Sizden bu üçgenin birebir aynısını (eşini) defterinize çizmenizi istiyorum. Bana üçgenin kenarları ve açıları hakkında en az kaç soru sorarsanız, üçgenin aynısını çizeceğinizden kesinlikle emin olabilirsiniz? İşte geometri tam olarak bu heyecan verici sorunun peşine düşer.
Paralelkenar ve Simetri Bize Ne Anlatır?
Bir paralelkenar çizip onu köşegeninden kestiğimizde oluşan iki üçgen birbirinin tamamen aynısıdır, yani 'eş'tir. Çünkü paralelkenarın karşılıklı kenarları eşittir ve köşegen her iki üçgenin ortak kenarıdır. İç ters açılar sayesinde açılar da birebir eşleşir.
Aynı durum simetri için de geçerlidir. Bir üçgenin bir doğruya (örneğin bir aynaya) göre simetriğini aldığımızda, üçgenin kenar uzunlukları ve açı ölçüleri kesinlikle değişmez. Sadece üçgenin duruş yönü değişir. Bu iki üçgen de birbiriyle eştir.
Eş Bir Üçgen Çizmek İçin Minimum Şartlar
Bir üçgenin 3 kenarı ve 3 açısı olmak üzere toplam 6 temel elemanı vardır. Kutudaki üçgenin aynısını çizmek için altısını da bilmemize gerek yoktur. Şu üç durumdan herhangi birini bilmek, eş bir üçgen oluşturmak için tamamen yeterlidir:
- Üç kenar uzunluğunun bilinmesi (Kenar-Kenar-Kenar). 2) İki kenar uzunluğu ve bu iki kenarın tam aralarındaki açının bilinmesi (Kenar-Açı-Kenar). 3) Bir kenar uzunluğu ve bu kenarın iki ucundaki açıların bilinmesi (Açı-Kenar-Açı).
İnteraktif Kesif: Paralelkenarda Köşegen
Aşağıdaki çizimde A, B, C ve D noktaları bir paralelkenar oluşturur. A ve C noktalarını birleştiren köşegenin paralelkenarı nasıl iki eş üçgene ayırdığını inceleyin.
Gizemli Üçgenlerin Sırrı: Eşlik ve Minimum Şartlar: Alıştırma Soruları
1. Öğretmeni, Ayşe'den aklında tuttuğu üçgenin birebir aynısını (eşini) çizmesini istiyor. Ayşe öğretmene en az kaç soru sorarak (hangi elemanları öğrenerek) bu üçgeni kesinlikle doğru çizebilir?
- A) Yalnızca 3 açısını öğrenerek
- B) 3 kenar uzunluğunu öğrenerek
- C) Herhangi 2 açısını öğrenerek
- D) Çevresini ve 1 açısını öğrenerek
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 3 kenar uzunluğunu öğrenerek
Üç kenar uzunluğunun bilinmesi (Kenar-Kenar-Kenar eşliği) tek bir üçgen çizebilmek için yeterlidir. Sadece açıları bilmek veya eksik bilgi almak eş üçgen çizmek için yeterli olmaz.
2. Bir ABCD paralelkenarında AC köşegeni çizildiğinde oluşan ABC ve CDA üçgenleri için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle söylenebilir?
- A) Sadece alanları eşittir, kendileri farklıdır.
- B) Sadece çevreleri eşittir.
- C) Birbirinin benzeri olup eş değildirler.
- D) Eş üçgenlerdir çünkü karşılıklı kenarları eşittir ve köşegen ortaktır.
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Eş üçgenlerdir çünkü karşılıklı kenarları eşittir ve köşegen ortaktır.
Paralelkenarın karşılıklı kenar uzunlukları eşittir. Köşegen de her iki üçgen için ortak bir kenar olduğundan, Kenar-Kenar-Kenar kuralına göre bu iki üçgen tamamen eştir.
3. Bir KLM üçgeninin d doğrusuna göre simetriği alınarak K'L'M' üçgeni elde ediliyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
- A) Simetri işlemi üçgenin açı ölçülerini değiştirmiştir.
- B) K'L'M' üçgeni, KLM üçgenine eştir.
- C) KLM üçgeninin çevresi ile K'L'M' üçgeninin çevresi aynıdır.
- D) İki üçgenin de alanları birbirine eşittir.
Cevabı göster
Doğru cevap: A) Simetri işlemi üçgenin açı ölçülerini değiştirmiştir.
Bir şeklin doğruya göre simetriği alındığında şeklin boyutu, kenar uzunlukları ve açıları değişmez, sadece yönü değişir. Bu nedenle açı ölçüleri değişmez.
4. Gizli bir üçgenin eşini çizmek isteyen Mert, üçgenin bir kenar uzunluğunu (örneğin BC = 6 cm) ve bu kenarın iki ucundaki açıların ölçülerini (B açısı = 40 derece, C açısı = 60 derece) öğreniyor. Mert bu bilgilerle öğretmenin aklındaki eş üçgeni oluşturabilir mi?
- A) Hayır, 3 kenarını da bilmesi gerekir.
- B) Evet ama bu bilgilerle sonsuz sayıda farklı üçgen çizilebilir.
- C) Hayır, sadece alanını hesaplayabilir.
- D) Evet, iki açı ve aralarındaki kenar bilindiği için tek bir eş üçgen çizilebilir.
Cevabı göster
Doğru cevap: D) Evet, iki açı ve aralarındaki kenar bilindiği için tek bir eş üçgen çizilebilir.
Bir kenar uzunluğu ve bu kenarın iki ucundaki açıların bilinmesi (Açı-Kenar-Açı kuralı), eş bir üçgen oluşturmak için tamamen yeterlidir.
5. Zeynep, defterine bir ABC üçgeni çizmek istiyor. Öğretmeni ona şu bilgileri veriyor: AB uzunluğu 5 cm, BC uzunluğu 7 cm ve C açısının ölçüsü 30 derece. Zeynep bu bilgilerle öğretmenin aklındaki üçgenin BİREBİR AYNISINI kesinlikle çizebilir mi?
- A) Kesinlikle çizer, çünkü 3 eleman (2 kenar, 1 açı) biliniyor.
- B) Çizemez, çünkü verilen açı, verilen iki kenarın arasındaki açı değildir.
- C) Kesinlikle çizer, açıya bakan kenar daha kısa olduğu için tek üçgen oluşur.
- D) Çizemez, çünkü açı 90 derece olmak zorundadır.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) Çizemez, çünkü verilen açı, verilen iki kenarın arasındaki açı değildir.
İki kenar ve bir açının tek bir eş üçgen belirtebilmesi için, verilen açının MUTLAKA bu iki kenarın tam arasında olması gerekir (Kenar-Açı-Kenar kuralı). Verilen açı arada olmadığı için farklı üçgenler oluşabilir.