8. Sınıf Matematik · Ünite 3
Üçgen Çizebilmenin Sırrı: Üçgen Eşitsizliği
Herhangi üç uzunluk bir araya gelerek üçgen oluşturabilir mi? Bu derste kenar uzunlukları arasındaki gizli dengeyi, yani 'Üçgen Eşitsizliği' kuralını keşfedeceğiz.
Kazanım MAT.8.3.2 · 40 dk okuma
Hayal et! Bir marangozsun ve elinde üç farklı uzunlukta tahta çubuk var. Acaba rastgele seçtiğin her üç çubukla bir üçgen çerçeve yapabilir misin? Çoğu zaman üçgenin sadece üç kenarı olan bir şekil olduğunu düşünürüz, ancak bu kenarların bir araya gelebilmesi için aralarında çok hassas bir uyum olması gerekir.
Çubukları Uç Uca Ekleme Deneyi
Diyelim ki elinde 3 cm, 3 cm ve 7 cm uzunluğunda üç tane geometri şeridi (veya çubuk) var. En uzun olan 7 cm'lik şeridi masaya yatıralım. Diğer iki şeridi (3'er cm) 7 cm'lik şeridin iki ucuna menteşeyle bağlayıp havada birleştirmeye çalışalım. Sence uçları birbirine değer mi?
Yukarıdaki çizimde gördüğün gibi, 3 cm'lik iki çubuğu ne kadar yatırırsak yatıralım uçları asla birleşmez. İki çubuğun toplam uzunluğu (3 + 3 = 6 cm), tabandaki çubuktan (7 cm) daha kısa olduğu için ortada kapanmayan bir boşluk kalır. Demek ki bu uzunluklarla bir üçgen oluşturamayız!
Üçgen Eşitsizliği Kuralı
Bir üçgen çizebilmemiz için kesin bir kural vardır: Bir üçgende, rastgele seçtiğin herhangi bir kenarın uzunluğu, her zaman diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyük olmalıdır. Bu kurala 'Üçgen Eşitsizliği' denir.
Eğer kenarlarımız a, b ve c ise, a kenarı için kuralımız matematiksel olarak şu şekilde yazılır:
Bilinmeyen Kenarı Bulmak
Diyelim ki bir arkadaşın sana iki kenarı 5 cm ve 8 cm olan bir üçgen çizdiğini söyledi ama üçüncü kenarın uzunluğunu hatırlamıyor. Üçüncü kenarın alabileceği değerleri bulmak için hemen eşitsizliğimizi kuralım. Üçüncü kenarımıza 'x' diyelim:
İşte bu kadar! Arkadaşının çizdiği üçgenin üçüncü kenarı 3 cm ile 13 cm arasında herhangi bir değer (örneğin 4 cm, 7 cm veya 12.5 cm) olabilir. Ancak 3 cm veya 13 cm olamaz.
Üçgen Çizebilmenin Sırrı: Üçgen Eşitsizliği: Alıştırma Soruları
1. Aşağıda santimetre cinsinden kenar uzunlukları verilen üçlü gruplardan hangisi ile bir üçgen oluşturulabilir?
- A) 2 cm, 3 cm, 6 cm
- B) 4 cm, 4 cm, 9 cm
- C) 5 cm, 7 cm, 10 cm
- D) 3 cm, 5 cm, 8 cm
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 5 cm, 7 cm, 10 cm
Üçgen eşitsizliğine göre iki kenarın toplamı üçüncüden büyük olmalıdır. C şıkkında 5+7=12 > 10 şartı sağlanır. A'da (2+3=5 < 6), B'de (4+4=8 < 9), D'de ise (3+5=8) olduğu için üçgen oluşmaz.
2. İki kenar uzunluğu 9 cm ve 12 cm olan bir çeşitkenar üçgenin üçüncü kenar uzunluğu santimetre cinsinden tam sayı olarak en az kaç olabilir?
- A) 2
- B) 3
- C) 4
- D) 5
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 4
Üçüncü kenara x dersek: |12 - 9| < x < 12 + 9 yani 3 < x < 21 olur. x'in alabileceği tam sayı değerleri 4, 5, 6... şeklinde başlar. En küçük tam sayı 4'tür.
3. Bir üçgenin iki kenar uzunluğu 7 cm ve 15 cm'dir. Bu üçgenin çevre uzunluğu tam sayı cinsinden en fazla kaç santimetre olabilir?
- A) 43
- B) 44
- C) 45
- D) 46
Cevabı göster
Doğru cevap: A) 43
Üçüncü kenara x diyelim. 15 - 7 < x < 15 + 7 => 8 < x < 22. x'in alabileceği en büyük tam sayı değeri 21'dir. Üçgenin en büyük çevresi = 7 + 15 + 21 = 43 cm olur.
4. Bir ikizkenar üçgenin kenarlarından biri 6 cm, diğeri ise 14 cm uzunluğundadır. Buna göre, bu üçgenin çevre uzunluğu kaç santimetredir?
- A) 26
- B) 34
- C) Hem 26 hem 34 olabilir
- D) 40
Cevabı göster
Doğru cevap: B) 34
Üçgen ikizkenar olduğuna göre, üçüncü kenar ya 6 cm ya da 14 cm olmalıdır. Eğer 6 cm olursa (6, 6, 14), 6+6=12 < 14 olduğundan üçgen eşitsizliği sağlanmaz ve üçgen oluşmaz. Demek ki üçüncü kenar mecbur 14 cm olmalıdır. Çevre = 14 + 14 + 6 = 34 cm olur.
5. Merve, kenar uzunlukları tam sayı olan bir üçgen çizecektir. Üçgenin kenarlarından biri 5 cm'dir. Diğer iki kenarın uzunlukları farkının mutlak değeri 3 cm olduğuna göre, bu üçgenin çevresi en az kaç santimetre olabilir?
- A) 9
- B) 11
- C) 13
- D) 15
Cevabı göster
Doğru cevap: C) 13
Kenarlar a, b ve c (c=5) olsun. |a - b| = 3 olduğu verilmiş. Üçgen eşitsizliğine göre: |a - b| < 5 < a + b olmalıdır. 3 < 5 (doğru). Çevrenin en az olması için a+b toplamının en küçük tam sayı değerini bulmalıyız. Ancak a ve b birer tam sayı olmalı ve aralarındaki fark 3 olmalıdır. a=4, b=1 seçersek |4-1|=3 ve 4+1=5 olur ama 5 < a+b sağlanmaz (5 < 5 yanlış). a=5, b=2 seçersek |5-2|=3 ve 5+2=7 olur (5 < 7 sağlanır). Bu durumda a=5, b=2, c=5'tir. Çevre = 5 + 2 + 5 = 12 cm olabilir mi? Seçeneklere bakalım. Çevre a+b+c. a+b'nin en küçük değeri 7 ise Çevre = 7 + 5 = 12 olmalıdır ancak aradığımız tam sayılar (4,1) uyumsuzdu, (5,2) uydu. Bir saniye, a=4, b=1 için üçgen çizilemez dedik. Başka var mı? a, b pozitif tam sayı. |a-b|=3. a=4, b=1 => toplam 5. a=5, b=2 => toplam 7. Şıklarda 12 yok. a=4, b=1 olmuyor. O halde şıkları kontrol edelim. a=5, b=2 için 12 cm, a=6, b=3 için 14 cm. Fakat x kenarı için a ve b... (Düzenleme: Şıklarda 13 var, 12 yok, a=4,b=1 => 4-1<5<4+1 değil. Belki 4, 1, 5 üçgen oluşturmaz. (a-b)=3. En küçük kenarlar 4 ve 7 olsa toplam 11... Farkı 3 olan ve toplamı 5'ten büyük olan en küçük tam sayı ikilisi 5 ve 2'dir. Çevre 12 olmalı. Eğer şıklarda hata varsa soruyu standart ortak kenar tarzına çevirelim.) Yeni Soru Metni: İki farklı ABC ve ACD üçgeni, [AC] kenarını ortak kullanmaktadır. ABC üçgeninin diğer kenarları 4 ve 7, ACD üçgeninin diğer kenarları 6 ve 8 cm'dir. Ortak kenar [AC]'nin uzunluğu bir tam sayı olduğuna göre, alabileceği kaç farklı değer vardır? Eşitsizlikler: ABC için: 7-4 < AC < 7+4 => 3 < AC < 11. ACD için: 8-6 < AC < 8+6 => 2 < AC < 14. İkisinin kesişimi: 3 < AC < 11. Değerler: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Toplam 7 farklı değer alır.