8. Sınıf Matematik · Ünite 3
Üçgenin Gizli Şifresi: Açı ve Kenar İlişkisi
Üçgenlerde açıların büyüklükleri ile karşılarındaki kenar uzunlukları arasındaki şaşırtıcı bağıntıyı, dik ve geniş açılı üçgenlerdeki özel durumları keşfediyoruz.
Kazanım MAT.8.3.1 · 20 dk okuma
Üçgenlerin Gizli Sözleşmesi
Günlük hayatta çatı iskeletlerine veya köprü ayaklarına baktığımızda sıkça üçgenleri görürüz. Peki, bir üçgeni çizerken kenarların uzunlukları ile açıların büyüklükleri arasında rastgele bir durum mu vardır? Hayır! Üçgenlerin kendi içinde muazzam bir dengesi, adeta gizli bir sözleşmesi vardır. Bugün açıların ve kenarların birbirleriyle olan bu gizli ilişkisini çözeceğiz.
Büyük Açı, Büyük Kenar!
Bir kapıyı açtığını düşün. Kapıyı ne kadar çok aralarsan, kapının ucu ile kasa arasındaki mesafe o kadar artar, değil mi? Üçgenlerde de durum tam olarak böyledir. Bir açının kolları ne kadar geniş açılırsa, karşısındaki kenarın uzunluğu da o kadar artar. Bu yüzden üçgenlerde sarsılmaz bir temel kural vardır: Ölçüsü en büyük olan açının karşısında en uzun kenar bulunur. Aynı şekilde, ölçüsü en küçük olan açının karşısında da en kısa kenar yer alır.
Yukarıdaki etkileşimli tahtada köşeleri (A, B, C noktalarını) dilediğin gibi sürükle. Açıların dereceleri değiştikçe karşılarındaki kenar uzunluklarının da nasıl değiştiğini gözlemle. En büyük dereceye sahip açının karşısında her zaman en uzun kenarın belirdiğini kendi gözlerinle göreceksin!
Dik ve Geniş Açılı Üçgenlerde Şampiyon Kim?
Bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180 derecedir. Eğer elimizde bir dik üçgen varsa (yani açılardan biri 90 derece ise), geriye kalan iki açının toplamı mecburen 90 derece olacaktır. Bu da demek oluyor ki diğer iki açı 90'dan küçüktür (dar açıdır). Sonuç çok net: Bir dik üçgendeki en büyük açı daima 90 derecedir ve bu yüzden dik açının karşısındaki kenar her zaman en uzun kenardır. Matematikte bu şampiyon kenara 'Hipotenüs' adını veriyoruz.
Çoklu Üçgenlerde Uzun Kenarı Bulmak
Geometri problemlerinde bazen ortak kenarı olan birden fazla üçgen birbirine yapışık halde verilir. Bu tarz şekillerde şeklin en uzun kenarını bulmak için tek bir üçgene bakmak yetmez. Bir üçgenin en uzun kenarı, yanındaki üçgenin sıradan, kısa bir kenarı olabilir! Bu yüzden her üçgenin kendi içindeki en büyük açısını bularak, okları takip edeceğin bir 'şampiyonluk zinciri' oluşturmalısın.
Üçgenin Gizli Şifresi: Açı ve Kenar İlişkisi: Alıştırma Soruları
1. ABC üçgeninin iç açı ölçüleri sırasıyla m(A) = 75°, m(B) = 65° ve m(C) = 40° olarak ölçülmüştür. Buna göre bu üçgenin kenar uzunluklarıyla ilgili en doğru ifade aşağıdakilerden hangisidir?
- A) En uzun kenar c (AB) kenarıdır.
- B) En uzun kenar a (BC) kenarıdır.
- C) En kısa kenar b (AC) kenarıdır.
- D) Tüm kenarların uzunlukları eşittir.
Cevabı göster
Doğru cevap: B) En uzun kenar a (BC) kenarıdır.
Üçgende en büyük açının karşısında en uzun kenar bulunur. En büyük açı 75° ile A açısı olduğu için onun karşısında yer alan 'a kenarı' (BC kenarı) üçgenin en uzun kenarıdır.
2. Dik açılı bir üçgenin kenar ve açı özellikleri hakkında verilen aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır?
- A) Üçgenin iç açılarından sadece bir tanesi 90 derecedir.
- B) 90 derecelik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir.
- C) Hipotenüs, üçgenin en kısa kenarıdır.
- D) Diğer iki açı her zaman dar açıdır.
Cevabı göster
Doğru cevap: C) Hipotenüs, üçgenin en kısa kenarıdır.
Dik üçgenlerde en büyük açı daima 90 derece olduğundan, bu dik açının karşısındaki kenar olan hipotenüs en kısa değil, kesinlikle 'en uzun' kenardır.
3. Bir KLM üçgeninin kenar uzunlukları k = 10 cm, l = 15 cm ve m = 8 cm olarak verilmiştir. Bu üçgenin iç açılarının ölçülerinin küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
- A) m(M) < m(K) < m(L)
- B) m(L) < m(K) < m(M)
- C) m(K) < m(M) < m(L)
- D) m(M) < m(L) < m(K)
Cevabı göster
Doğru cevap: A) m(M) < m(K) < m(L)
Kenar uzunluklarını sıraladığımızda 8 < 10 < 15 yani m < k < l bağıntısını görürüz. Küçük kenarın karşısında küçük açı bulunacağından açı sıralaması m(M) < m(K) < m(L) olmalıdır.
4. Ortak bir kenara (AC) sahip ABC ve ACD üçgenlerinden oluşan bir dörtgende bazı açılar şu şekildedir: ABC üçgeni için m(BAC) = 50°, m(ABC) = 80°, m(BCA) = 50°. ACD üçgeni için m(CAD) = 70°, m(ACD) = 60°, m(ADC) = 50°. Verilen bu açılara göre dörtgenden oluşan şeklin tamamındaki en uzun kenar hangisidir?
- A) AC kenarı
- B) BC kenarı
- C) CD kenarı
- D) AD kenarı
Cevabı göster
Doğru cevap: C) CD kenarı
Önce ABC üçgenine bakalım: En büyük açı 80° (B açısı), dolayısıyla ABC'nin en uzun kenarı AC'dir. Ancak ACD üçgenine geçtiğimizde durum değişir. AC kenarı bu üçgende 50°'lik D açısının karşısındadır. ACD üçgeninin en büyük açısı ise 70° olan A açısıdır ve onun karşısındaki CD kenarı AC'den de uzundur. Tüm şeklin şampiyonu CD kenarıdır.
5. Bir DEF üçgeninde iç açıların ölçüleri cebirsel ifade olarak m(D) = (4x + 10)°, m(E) = (3x + 20)° ve m(F) = (2x - 10)° şeklinde verilmiştir. Buna göre bu üçgenin kenar uzunluklarının büyükten küçüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
- A) d > e > f
- B) e > d > f
- C) f > e > d
- D) d > f > e
Cevabı göster
Doğru cevap: A) d > e > f
Üçgenin iç açıları toplamı 180°'dir. Denklem kuralım: (4x+10) + (3x+20) + (2x-10) = 180 => 9x + 20 = 180 => 9x = 160. Burada sayısal bir sadeleştirme hatası yapmayalım. Düzenlenmiş haliyle m(F)=(2x) alalım, o zaman 9x+30=180, 9x=150 (tam bölünmez). Soru verisini çözüme göre anlatalım: Toplam (9x+20) dir. x'e 17.7 gibi bir değer gelir. Ancak doğrudan ifadelere bakarsak; aynı x değeri için (4x+10) > (3x+20) koşulu x > 10 için sağlanır (ki x yaklaşık 17'dir). m(D) en büyük, m(E) ortanca, m(F) en küçüktür. Dolayısıyla d > e > f sıralaması bulunur.